近期，在国际数学家大会上，四年一度的菲尔兹奖揭晓，中国数学家王虹、邓煜获奖。消息传来，数学成为公众热议的话题。此时翻开清代数学家潘逢禧的《算学发蒙》，书中那幅“梁上三珠、梁下五珠”的算盘图，恰好引出一段少为人知的福建算学往事。
潘逢禧，字淡如。旧籍名录中，“闽县潘逢禧淡如”寥寥数字，只留下籍贯和字号。数学史材料称他为清代举人，至于生卒、仕履和师承，目前仍难详考。《清史稿·艺文志》著录《算学发蒙》五卷，后来的书目与藏本介绍则多称“五种十三卷”。著录为何有别，尚待进一步核实。认识潘逢禧，首先还要回到这部书本身。
清光绪七年（1881年）前后，福州开埠已久，船政事业方兴，新式学堂渐次出现。域外传来的器物和书籍开始进入闽都，商铺账房依旧保留拨珠记数的传统，纸笔算法渐为人知，比例规之类的算具也进入部分士人的视野。尚无材料表明潘逢禧曾进入船政学堂，或直接参与新式教育。不过，《算学发蒙》仍与当时社会对实用知识的关注相呼应。
中国传统算学历来重视实用。丈量田亩需要计算，折纳钱粮需要计算，货物交易和工程营造同样离不开计算。古人所说的“术”，既是解题方法，也是可以依次操作的步骤。筹怎样在案上布列，珠如何在梁间进退，都会影响运算的次序。反过来，算法追求简便，又促成算具和指法的变化。器与术相互依存，构成中国传统算学颇具特色的一面。
《算学发蒙》的可贵，在于没有局限于一种算具或一种算法。全书先列总括，继而讲古算和珠算，又收入笔算、筹算与尺算。这里的“五种”，指5类计算方法，总括则提领全书。从《九章算术》以来的旧术，到账房常用的算盘，再到纸上笔算、纳皮尔筹和比例规，潘逢禧将不同来源的知识编在一处。书名虽称“发蒙”，呈现的计算图景却相当开阔。
将“古算”置于篇首，自有其用意。晚清学人接触西法之时，也在重新整理本土算学传统。方田术用于量地，粟米术涉及交换，差分和少广可以处理比例、分配与开方问题。这些方法长期服务于赋役、交易和营造，背后贯穿着十进位值与逐步演算的思想。潘逢禧把古算纳入启蒙读物，不是为了以古拒今，而是要让初学者知道中国算学的来路。
全书用力最深处仍是珠算，相关内容共有五卷。潘逢禧重视指法练习。珠算能否迅速准确，既取决于口诀是否熟习，也取决于手指怎样分工、算珠如何进退。看似轻微的一拨一挑，实际对应着加减乘除中的定位、进位和退位。书中对4种乘法配以图解，说明操作过程，也辨析各自长短。手上动作被绘成图，口传口诀被写入书，账房里的经验由此有了可以阅读和反复练习的次序。
在多种除法中，潘逢禧尤其看重归除法。归除借助成套口诀，将除数首位与被除数逐位相较，在算珠的进退中求出商数。熟练之后，它可以提高演算速度，初学时却常因口诀繁密而难以掌握。潘逢禧把口诀、指法和图式结合起来，正是为了降低入门难度。由此可见，传统算学的推理不只被写成文字，也凝结在一套能够重复执行的操作程序中。
书中“梁上三珠、梁下五珠”的算盘图，也是一处值得留意的细节。明清以来常见的算盘，多为梁上一珠或二珠、梁下五珠，三五珠式显得较为特别。潘逢禧将这种形制绘入算书，说明算盘形制原有多种变化。器物的变化往往与计数范围和演算习惯有关。一梁数珠看似寻常，却保存着算法演进的痕迹。
潘逢禧还在“珠算事略”中追索算盘源流。他认为算盘可能起于宋代，不赞同清代梅文鼎所说的元末明初起源。算盘究竟形成于何时，今天仍有讨论，不能仅凭一家之说作出结论。不过，潘逢禧能够结合旧说、器制和算法提出自己的看法，在辑录口诀之外，也留意算具的历史。这种追本溯源的意识，使《算学发蒙》兼有几分算学史的意味。
如果说算盘体现了日常计算的便利，笔算则代表另一种演算方式。明末以后，西方笔算随译著传入中国。梅文鼎曾调整相关书写形式，使之更适合中文直行排布。潘逢禧的笔算部分以梅氏著作为重要依据，又参取诸家之说。数字写在纸上，中间步骤可以保留，便于检查和回看。计算由拨弄实物转向书写符号，思考习惯也随之变化。
《算学发蒙》所说的“筹算”，主要指纳皮尔筹，与古代布列竹筹的算法有所不同。纳皮尔筹把乘法表刻写在细长筹片上，使用时依数排列，再沿斜格读取结果，把复杂乘法转化为较为简便的加法。它由欧洲传入中国后，被算家纳入“筹”的名称之下。一个沿用已久的旧名，由此容纳了新的器物。外来算法也在重新命名和解释后，进入中国人的知识系统。
尺算把数的比例关系落实在尺面刻度上。这里的“尺”不是普通直尺，而是可用于乘除、开方等运算的比例规。使用者借助刻度取值，将数的乘除转化为长度之间的对应。梅文鼎曾撰《度算》，介绍比例规的原理与用法。潘逢禧在前人成果的基础上重新编次，把这种算具纳入启蒙课程。从拨珠到运笔，再到移尺取数，手上动作虽不相同，目的都是把抽象的数化为可循的步骤。
循此再看全书，五种算法不是简单堆积。算盘长于处理日用账目，笔算便于留下过程，纳皮尔筹把乘法化为查取和相加，尺算借比例刻度求数，古算则提供本土术法的根基。潘逢禧把它们收入同一部书，让学习者了解各种方法的用处，也辨明各自限度。他更关心一种方法是否便于学习，是否适合实算。
回顾福建的算学传统，明代长乐人柯尚迁撰《数学通轨》，融会九章旧术。徐心鲁的《盘珠算法》刊行于福建，以图诀传授珠算。到了晚清，潘逢禧又把古算与珠算、笔算等汇为一编。时代不同，取径有别，他们都重视算法的条理与传习。八闽算学既有精深的理论探索，也有面向日用和初学者的知识实践。从明代珠算书到晚清多种算法汇编，福建算学的传播始终与刻书、授徒和日用实算相连。
尽管潘逢禧没有留下显赫的事迹，《算学发蒙》也少为今人所知，书中的图式和口诀却让我们看到新旧算法如何在一页书中相遇，外来工具又怎样借助中国旧有的名称和经验落地。今天重读那幅三五珠算盘图，从算盘到尺算，变化的是器具，延续的是把数理化为实用方法的努力。这册从闽都走出的启蒙算书，为福建科学文化事业留下了不可忽视的一笔。
（作者单位：福建社会科学院）